切割线定理：一张图避开乘错线段
切割线定理最反常识的一点：乘的不是“圆外段×圆内段”，而是“圆外段×整条割线”。这一个词看漏，答案就会从6错成√20。下面用固定标点、三步计算、相似证明和验算办法讲清楚，顺手分辨它和割线定理，做题不再靠背图。
切割线定理到底乘哪两段
把图固定下来：P是圆外点，PT切圆于T；从P引割线，依次交圆于A、B。公式只有一个：PT²＝PA×PB。PA是圆外段，PB是从P到远端交点的整条割线。
切割线定理只有在P位于圆外、PT确实是切线时才能直接套。最常见的坑是写成PT²＝PA×AB。AB只是圆内段，不能单独拿来乘。题目若给PA和AB，要先算PB＝PA＋AB。
切割线定理三步计算法
例题给PA＝4厘米、AB＝5厘米。别急着开根号，先补整线：PB＝4＋5＝9厘米；再代公式：PT²＝4×9＝36；得到PT＝6厘米。长度取正值，不写±6。若错乘4×5，就会得到√20，这类失分很常见。
反过来求圆内段也一样。已知PT＝12、PA＝8，可得PB＝144÷8＝18，所以AB＝18－8＝10。老手会多做一次位置检查：整段PB必须大于外段PA，否则点的顺序或计算肯定出了问题。
切割线定理为什么成立
证明不用硬背。连接TA、TB，比较△PTA和△PBT。P处是同一个夹角；由切线弦定理，∠PTA＝∠PBT，两三角形相似。对应边写成PT∶PB＝PA∶PT，交叉相乘，正好得到PT²＝PA×PB。
这也解释了切割线定理里为什么会出现切线的平方：相似三角形中，PT在比例式两边各出现一次。看到“圆外点、切线、割线”这三个条件，就该想到这个结构。
切割线定理与割线定理别混用
若从同一个圆外点P引出两条割线，近、远交点分别是A、B和C、D，用的是PA×PB＝PC×PD。它叫割线定理，没有切线平方。两条公式其实都来自点P对圆的幂，辨认时只看一件事：图中有没有与圆只有一个公共点的直线。
还有个实用验算：PA、PB的单位若是厘米，乘积单位是平方厘米，必须对应PT²。若你算出的PT直接等于PA×PB，量纲已经暴露错误。考试草稿上标出“外段”“整段”，比默念公式稳得多。
常见问题
- 切割线定理中整条割线包括圆内部分吗？
- 包括。若点的顺序是P—A—B，整条割线PB＝PA＋AB。公式使用PA×PB，不使用PA×AB。
- 题目没有画直角，怎么确认PT是切线？
- 看文字是否明确写“PT切圆于T”，或是否给出OT⊥PT，其中O是圆心。半径垂直于经过圆上点T的直线时，可以判定PT为切线。
- 能用这个公式证明一条线是圆的切线吗？
- 可以。P在圆外，割线交圆于A、B，T在圆上；若算出PT²＝PA×PB，就可借助切割线定理的逆向判定说明PT为切线。